Ciudad Guatemala
¿Te fijaste alguna vez en el símbolo de reciclaje?
Es muy probable que en tu vida diaria te encuentres cientos de objetos de una sola cara, como el símbolo universal para el reciclaje, que se encuentra impreso en la parte posterior de las latas de aluminio y botellas de plástico.
Este objeto matemático se llama una banda o cinta de Moebius o Möbius. Ha fascinado a ecologistas, artistas, ingenieros, matemáticos y muchos otros desde su descubrimiento en 1858 por el matemático alemán August Möbius.
Möbius descubrió la cinta de una sola cara cuando se desempeñaba como catedrático de astronomía y mecánica superior en la Universidad de Leipzig. (En realidad, otro matemático llamado Listing la describió unos meses antes, pero no publicó su trabajo hasta 1861).
El matemático se encontró con la cinta de Moebius mientras trabajaba en la teoría geométrica de los poliedros, figuras sólidas compuestas por vértices, bordes y caras planas.
Se puede crear una banda de Moebius con una tira de papel, dándole un número impar de giros y luego uniendo los extremos para formar un bucle. Si tomas un lápiz y dibujas una línea a lo largo del centro de la cinta, verás que parece que la línea corre a lo largo de ambos lados del bucle.
Características sorprendentes
El concepto de un objeto de una sola cara inspiró a artistas como el diseñador gráfico holandés MC Escher, cuyo grabado en madera “Möbius Strip II” muestra hormigas rojas arrastrándose una tras otra a lo largo de una cinta de Moebius.
La cinta de Moebius tiene varias características sorprendentes. Por ejemplo, agarra unas tijeras y corta la tira por la mitad, a lo largo de la línea que acabas de dibujar.
Es posible que te asombres al descubrir que no quedan dos cintas de Mobius más pequeñas, sino un largo bucle de dos caras.
Si no tienes un pedazo de papel a mano, el grabado en madera de Escher, “Möbius Strip I”, muestra lo que sucede cuando se corta una cinta de Moebius a lo largo de su línea central.
Desarrollo de la topología
Si bien la banda tiene un atractivo visual, su mayor impacto lo ha logrado en las matemáticas, donde ayudó a estimular el desarrollo de todo un campo llamado topología.
Un topólogo estudia las propiedades de los objetos que se conservan cuando se mueven, se doblan, se estiran o se retuercen, sin cortar o pegar partes.
Por ejemplo, un par de auriculares enredado es, en un sentido topológico, lo mismo que un par de auriculares sin enredar, porque cambiar de uno al otro solo requiere mover, doblar y torcer. No se requiere cortar o pegar para que se transformen entre ellos.
Otro par de objetos que son topológicamente iguales son una taza de café y una dona. Debido a que ambos objetos tienen un solo orificio, uno puede transformarse en el otro simplemente estirando y doblando.
El número de agujeros en un objeto es una propiedad que se puede cambiar solo cortando o pegando. Esta propiedad, llamada “género” de un objeto, nos permite decir que un par de auriculares y una dona son topológicamente diferentes, ya que una dona tiene un orificio, mientras que un par de auriculares no tiene orificios.
Desafortunadamente, una cinta de Moebius y un bucle de dos caras, como la típica correa de silicona, tienen un agujero, por lo que esta propiedad no es suficiente para distinguirlos, al menos desde el punto de vista de un topólogo.
El concepto de “orientabilidad”
En cambio, la propiedad que distingue una banda de Moebius de un bucle de dos caras se llama “orientabilidad”. Al igual que su número de orificios, la orientabilidad de un objeto solo se puede cambiar cortando o pegando.
Imagina que escribes una nota en una superficie transparente, y luego caminas por esa superficie. La superficie es orientable si, cuando regresas, puedes leer la nota.
En una superficie no orientable, al regresar del paseo descubrirás que las palabras que escribiste se convirtieron en su reflejo y solo se pueden leer de derecha a izquierda. En el bucle de dos caras, la nota siempre se leerá de izquierda a derecha, sin importar a dónde vayas.
Como la banda de Moebius es no orientable, y el bucle de dos caras es orientable, eso significa que la cinta de Moebius y el bucle de dos caras son topológicamente diferentes.
¿Para qué sirve?
El concepto de orientabilidad tiene importantes implicaciones. Considera los enantiómeros. Estos compuestos químicos tienen las mismas estructuras químicas, excepto por una diferencia clave: son imágenes especulares entre sí.
Por ejemplo, el químico L-metanfetamina es un ingrediente en los inhaladores Vicks. Su reflejo, la D-metanfetamina, es una droga ilegal de Clase A -las más peligrosas para la salud-. Si viviéramos en un mundo no orientable, estos productos químicos serían indistinguibles.
El descubrimiento de August Möbius abrió nuevas formas de estudiar el mundo natural.
El estudio de la topología continúa produciendo resultados sorprendentes. Por ejemplo, el año pasado, la topología llevó a los científicos a descubrir nuevos y extraños estados de la materia.
La Medalla Fields de este año, el más alto honor en el mundo de las matemáticas, fue otorgada a Akshay Venkatesh, un matemático que ayudó a integrar la topología con otros campos, como la teoría de los números.
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