En 1991 un objeto precioso llegó a la casa de subastas Christie’s de Londres, donde llamó la atención, no sólo por su belleza, sino por los misteriosos símbolos que tenía tallados en su superficie.

Era un astrolabio medieval, probablemente creado a finales del siglo XIV, y despertó el interés de expertos, particularmente el del historiador británico David A. King, quien por casualidad poco antes había visto cifras similares a las que traía el aparato en un manuscrito de la misma época de Normandía.

Se trataba de una notación numérica desconocida hasta por la mayoría de los especialistas tanto en Estudios Medievales como en Historia de las Matemáticas.

Había sido desarrollada por monjes cistercienses a finales del siglo XIII y fue usada en los monasterios en toda Europa durante al menos dos siglos más.

Esa época los nuevos números indo arábigos estaban ganando terreno frente a los romanos, pero pasarían siglos antes de que fueran ampliamente aceptados.

Los cistercienses no pretendían destronar a uno ni al otro, eran más bien una alternativa a la mano de los monjes en monasterios a lo largo y ancho de Europa, de Inglaterra a Italia, de España a Suecia.

Como, a diferencia de los romanos, ofrecían la posibilidad de representar cualquier número con un solo símbolo, eran populares entre quienes los conocían.

Sin embargo, al igual que los romanos, no se prestaban para multiplicar ni dividir.

Para cuando el libro impreso reemplazó al manuscrito como medio de trasmisión de conocimientos, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 ya habían conquistado el mundo y I, V, X, L, C, D y M se habían reservado su lugar para la posteridad pero los números cistercienses cayeron en el olvido hasta tal punto que un siglo más tarde ya eran un misterio.

Aunque no para todos: los medidores de vino de Flandes siguieron utilizando números cistercienses para marcar volúmenes en los barriles y divisiones en las escalas de sus varillas de medición hasta el siglo XVIII, señala King.

Y hubo unas (pocas) reapariciones, como cuando fueron adoptados por los masones en París en 1780, y en escritos nacionalistas del siglo XX sobre el folclore alemán.

Pero, ¿cómo era ese sistema numérico que en “Los Tres Libros de la Filosofía Oculta” (1533), el renacentista alemán Agrippa de Nettesheim describió como “elegantissimæ numerorum notæ“?

Los elegantísimos números

Cuenta King que el sistema numérico se empezó a desarrollar a partir de una notación más simple traída por el monje Juan de Basingstoke a Inglaterra desde Atenas a principios del siglo XIII, con la que se podían representar los números del 1 al 99.

En su célebre Chronica Majora, el monje benedictino e historiador Mateo de París, se refiere a ellos e indica cómo hacer esas figuras: “Trace una línea y dibuje líneas que salgan de ella y haga un ángulo recto, agudo u obtuso en la siguiente manera…”.

Aquí están sus dibujos:

Ese conocimiento se difundió por los monasterios de los cistercienses y se fue desarrollando de formas sutilmente diferentes dependiendo del idioma nativo de los monjes.

Con el tiempo, los sencillos trazos que Basingstoke trajo de Grecia se expandieron:

Las formas de escribirlos variaban sutilmente a lo largo de los años.

En algún momento, la línea inicial fue horizontal.

Para el siglo XIV, los monjes franceses volvieron a poner ese tallo en su posición original.

Mateo de París destacó que “lo que es más admirable y lo que no encontramos en el caso de los numerales romanos o indo arábigos es que cualquier número puede ser representado con una sola figura“.

Y tenía razón.

Mira estos ejemplos:

Cualquiera de esas cifras requieren 4 dígitos en números indo arábigos y para escribir 1.993, por ejemplo 1.993, necesitas 8 números romanos: MCMXCIII.

Lo que sí necesitas es saber cómo interpretar el símbolo cisterciense, aunque no es tan difícil como puede parece.

La clave

Hace 15 años, un pueblo de Italia experimentó un extraño tipo de histeria colectiva conocida como “la fiebre del 53”. La locura estaba relacionada con la lotería nacional.

Quienes apuestan en el Gioco del lotto, cuyo funcionamiento se parece al del bingo, deben elegir entre 11 ruedas diferentes, correspondientes a ciudades como Bari, Nápoles o Venecia.

Una vez que hayan elegido en qué ruedas jugar, pueden apostar por números que van del 1 al 90.

Las ganancias dependen de cuánto se apuesta inicialmente, cuántos números se eligen y cuánto se acierta.

Sin embargo, en algún momento de 2003, el 53 simplemente dejó salir en los sorteos de Venecia, lo que llevó a los jugadores a apostar cada vez más a ese número, con la certeza de que pronto aparecería.

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A principios de 2005, la fiebre del 53 parecía haber llevado a miles de personas a la ruina financiera, lo que se tradujo en una serie de suicidios.

La histeria sólo desapareció cuando el número finalmente se dejó ver en el sorteo del 9 de febrero, después de haber estado ausente en 182 y de que se hubiera apostado por él 4.000 millones de euros (poco menos de US$4.700 millones) en total.

Aunque puede parecer una suerte de locura, los perdedores se habían arruinado por un error de razonamiento llamado “falacia del jugador”.

Se trata de algo preocupantemente común que nos puede llevar a equivocarnos en muchas de nuestras decisiones profesionales, desde la respuesta de un portero de fútbol durante un penal, a inversiones bursátiles e incluso fallos judiciales sobre nuevos casos de petición de asilo.

 

Para saber si eres de los que caerían en la falacia del jugador, imagina que lanzas una moneda al aire una serie de veces y obtienes la siguiente secuencia: cara, cara, cruz, cruz, cruz, cruz, cruz, cruz, cruz, cruz, cruz, cruz, cruz .

¿Qué posibilidades hay de que consigas cara en el próximo lanzamiento?

Mucha gente cree que, por cuestión de probabilidades, la secuencia debe nivelarse y, por consecuencia, le parece inevitable que a continuación surja cara.

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Pero la teoría de la probabilidad básica nos dice que los eventos son estadísticamente independientes.

Esto que significa que las probabilidades son exactamente las mismas cada vez que se lanza la moneda al aire.

La probabilidad de que salga cara sigue siendo del 50% incluso si se han obtenido cruz 500 o 5.000 veces seguidas.

Por la misma razón, HTHTTH es tan probable como HHHHHH.

Aunque a muchos les sigue sin parecer así y continúan pensando que la secuencia mixta es de alguna manera más probable que la continua.

La falacia del jugador ha centrado el interés de los investigadores que estudian los juegos de azar.

 

También se la conoce como la “falacia de Montecarlo”, porque en 1913 una de las mesas de ruleta del casino de Mónaco registró 26 negros seguidos.

Los investigadores que han estudiado las imágenes captadas por cámaras de seguridad de distintos casinos confirman que dicho error sigue afectando a los apostadores en la actualidad.

Sorprendentemente, la educación y la inteligencia no nos protegen frente al sesgo.

Más vulnerables

De hecho, un estudio realizado por investigadores chinos y estadounidenses descubrió que las personas con un coeficiente intelectual más alto son en realidad más susceptibles a la falacia del jugador que aquellas que obtienen un menor puntaje en las pruebas estandarizadas.

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Podría ser que las personas más inteligentes piensen demasiado en los patrones y crean que son lo suficientemente inteligentes como para predecir lo que vendrá después.

Cualquiera que sea la razón de estas falsas intuiciones, varias investigaciones posteriores han revelado que la falacia del jugador puede tener graves consecuencias más allá de los casinos.

Ese mismo sesgo parece estar presente en los mercados de valores, por ejemplo.

Cuando hay muchos cambios a corto plazo en el precio de las acciones suelen ser esencialmente fluctuaciones aleatorias.

Y Matthias Pelster, de la Universidad de Paderborn en Alemania, ha demostrado que los inversores suelen basar sus decisiones en la creencia de que los precios pronto se “igualarán”.

 

Así que, al igual que los que juegan a la lotería en Italia, apuestan por que la racha acabará.

“Los inversores deberían comprar y vender teniendo en cuenta que puede seguir la racha, pero también que puede cambiar”, dice.

“Sin embargo, eso no es lo que nos dicen los datos”.

La falacia del jugador supone un problema particularmente en aquellas profesiones que requieren un juicio imparcial, sin sesgos.

Un equipo de investigadores analizó recientemente las decisiones jueces en Estados Unidos ante las solicitudes de asilo.

También los jueces

El orden de los casos no debería importar, pero los investigadores descubrieron que, debido a la falacia del jugador, existía un 5,5% menos de probabilidades de que un juez concediera el asilo a un solicitante si a los dos anteriores se lo había otorgado.

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Esto supone una seria disminución de la tasa de aceptación media del 29%.

Conscientemente o no, parecía que llegaban a la conclusión de que era demasiado improbable poder decidir lo mismo tres veces seguidas, por lo que se inclinaban por romper la racha.

 

A continuación, los investigadores analizaron al personal de los bancos encargados de estudiar las solicitudes de préstamos.

Una vez más, el orden de las solicitudes marcó la diferencia: había hasta un 8% más de probabilidades de que se rechazara una solicitud después de haber aceptado dos o más seguidas, y al contrario.

También en el béisbol

Como prueba final, el equipo analizó las decisiones de los árbitros en los juegos de las Grandes Ligas de béisbol.

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En este caso, había aproximadamente un 1,5% menos de probabilidades de que el árbitro declarara strike en un lanzamiento si el anterior también lo había sido, un sesgo pequeño pero significativo que podía marcar la diferencia en un partido.

Kelly Shue, una de las coautoras del estudio, dice que inicialmente se sorprendió con los resultados.

“Porque son profesionales y tomar esas decisiones lo principal de su trabajo”, dice.

Pero aún así, seguían siendo vulnerables al sesgo.

 

Los jugadores de fútbol deberían prestar especial atención a la falacia del jugador.

En una tanda de penaltis, la pelota tarda entre 0,2 y 0,3 segundos en llegar a la portería.

“El portero debe [por tanto] decidir si saltar a uno de los lados o permanecer en el centro de la portería más o menos al mismo tiempo que el pateador elige cómo ejecutar el penal”, explica Simcha Avugos, de la Universidad Ben-Gurion en Israel.

Esto significa que la decisión para ambos es esencialmente una apuesta.

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¿Apostarán como los jueces, los bancos y los árbitros de béisbol contra una racha?

El equipo de Avugos analizó recientemente los pateos en eventos como la Copa Mundial de la FIFA y la Liga de Campeones de Reino Unido, y eso fue lo que encontraron.

Ante estos resultados, el equipo argumenta que los futbolistas podrían explotar esta tendencia si continúan disparando en la misma dirección durante una tanda de penaltis.

Puede parecer que la mayoría de los trabajos están lejos de caer en estas situaciones de alto riesgo, pero Shue cree que la falacia del jugador se da en muchas otras carreras.

Incluso cuando no nos damos cuenta de que estamos haciendo juicios probabilísticos inconscientes.

 

Pone como ejemplo la contratación de empleados.

Si los entrevistadores ya han visto a un buen candidato, es posible que no esperen otro individuo excepcional.

“Y entonces es más probable que le dé una calificación peor a la siguiente persona”.

Intuición sobre el azar

Lo mismo ocurre con los profesores que califican los exámenes de sus alumnos, dice.

De manera similar, si eres editor, podrías rechazar a la próxima JK Rowling basándote únicamente en el hecho de que recientemente encontraste otras novelas estelares que publicar.

Sea cual sea tu profesión, harás bien en recordar la “fiebre del 53” en Italia y el caos que trajo.

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Las rachas ocasionales pueden ocurrir y ocurren en cualquier tipo de secuencia.

Todos seríamos más racionales si aceptamos que nuestra intuición sobre el azar a menudo está completamente equivocada.

David Robson es el autor de “The Intelligence Trap: Why Smart People Do Dumb Things” (La trampa de la inteligencia: por qué las personas inteligentes hacen cosas tontas), que examina nuestros errores de pensamiento más comunes y la forma de corregirlos.

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Contar es una de las primeras cosas que aprendemos de niños y tanto infantes como adultos muchas veces recurrimos a los dedos de nuestras manos para ayudarnos a calcular números.

El motivo es obvio: tenemos diez dedos, la cantidad exacta de dígitos que existen en nuestro sistema de conteo, el sistema decimal.

De hecho, los antropólogos creen que este sistema surgió justamente por esa razón.

El sistema decimal utiliza diez dígitos: 0 (cero), 1 (uno), 2 (dos), 3 (tres), 4 (cuatro), 5 (cinco), 6 (seis), 7 (siete), 8 (ocho) y 9 (nueve).

A partir de esos se forman todos los números.

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Pero aunque nos resulte muy natural, el historiador de Matemáticas Philip Beeley, de la Universidad de Oxford, le contó a la BBC que muchas civilizaciones antiguas usaban un sistema diferente al decimal.

“Si nos remontamos a la Antigüedad clásica tendemos a ver que otros sistemas eran más predominantes”, aseguró.

Otras maneras de contar

Algunos ejemplos son el sistema sexagesimal de los Babilonios, que usaba el 60 como base y tenía la tabla trigonométrica más antigua y exacta de la historia.

Si te suena imposiblemente difícil de aplicar recuerda que aún hoy utilizamos este sistema para algunas cosas, principalmente el registro del tiempo: hay 60 segundos en un minuto y 60 minutos en una hora.

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Otra sociedades utilizaron una variedad de sistemas. Los Mayas usaban el 20 como base. En tanto, los pueblos antiguos de Estados Unidos y México que hablaban las lenguas chumash usaron el 4.

Incluso hoy, en Papúa Nueva Guinea, hay pueblos nativos que hablan la lengua Kaugel y basan su numeración en el 24.

Pero aunque el sistema decimal logró imponerse en la mayor parte del mundo no todos creen que es el mejor método para contar.

Existe un movimiento que desde la década de 1940 aboga porque se cambie la base de nuestra numeración del diez al… 12.

¿12?

Antes de considerar las ventajas que señalan sus promotores, ¿cómo funcionaría concretamente un sistema duodecimal si sólo tenemos 9 números y el 0?

Para tener 12 dígitos únicos, los promotores del sistema proponen crear dos símbolos más, cuyo lugar estaría después del 9.

Es decir que el 10 se correría dos lugares, y pasaría a valer lo que hoy consideramos 12.

Superado este obstáculo, exploremos la idea.

Los promotores del llamado “sistema docenal” son académicos convencidos de que usar esa base nos facilitaría la vida a todos.

Por un lado, “a los niños les sería más fácil aprender matemáticas”, aseguran.

Ponte a pensar: las tablas de multiplicar más fáciles de aprender y recordar son las del 2 y 5.

Eso se debe a que son los números que dividen la base, el 10.

Pero si la base es 12, más tablas de multiplicar serían fáciles de memorizar, algo que reconoce la matemática Vicky Neale, de la Universidad de Oxford, quien antes de ser consultada por la BBC no se había puesto a considerar un cambio de base.

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“Hay más que funcionan mejor en base 12 porque hay más números que lo dividen exactamente”, le dijo a la BBC.

Efectivamente, las tablas de multiplicar más fáciles de aprender y recordar se duplicarían: las del 2, 3, 4 y 6.

Sin embargo, resaltó Neale, no resuelve todos los problemas.

“Todavía sería difícil dividir por 7”, ejemplifica.

La vida cotidiana

Aunque la idea nos resulte inconcebible, sus apóstoles señalan que lo que más se beneficiaría con el cambio son las matemáticas básicas, esas que usamos a diario.

“En un mundo docenal sería mucho más sencillo utilizar el dinero, medir cualquier cosa, calcular un tercio o un cuarto de una cantidad…”, le dice a la BBC Stephen Wood, profesor de Física y promotor del sistema.

“El 12 es un número increíble porque puedes dividirlo por dos, por tres, por cuatro y por seis y obtener números enteros”, agrega Wood, destacando su más valiosa ventaja: simplifica considerablemente las fracciones.

He aquí un ejemplo visual:

Y mira cómo cuando, por ejemplo, divides 100 con el sistema decimal y el docenal, hay menos fracciones con el último:

¿Cambiamos?

Los entusiastas del 12 aseguran que los beneficios superan ampliamente los negativos, y están convencidos de que no sería difícil adoptar el nuevo sistema.

“Las civilizaciones han cambiado de bases aritméticas a lo largo de la historia”, señala el físico Wood, quien destaca que incluso hoy conviven varios sistemas que utilizan el 12.

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Por ejemplo, para contar los huevos usamos el sistema duodecimal. Y hay 12 pulgadas en cada pie.

También hay otras unidades de medida que siguen siendo muy utilizadas hoy y no se basan en el diez: están las onzas (16 por cada libra), los cuartos (cuatro hacen un galón) y la pinta (que en Reino Unido equivale a 20 onzas y en EE.UU. a 16), entre otras.

Sin embargo, a pesar de sus virtudes, muchos, como la profesora Neale, creen que sería demasiado arduo cambiar de sistema.

“Sería tan confuso para mí y para todos, aunque puedo ver desde el punto de vista matemático… el 12 es un número chévere”, concluye.

*Esta es una adaptación del episodio “Is there a better way to count…? 12s anyone?” de BBC Ideas. Si quieres ver el video original haz clic aquí.