Durante los siglos en que China, India y el imperio islámico habían estado en ascenso, Europa había caído bajo una sombra.

Toda la vida intelectual, incluido el estudio de las matemáticas, se había estancado.

Pero en el siglo XIII, las cosas estaban empezando a cambiar.

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Liderada por Italia, Europa empezó a explorar y comerciar con el oriente.

Con ese contacto llegó la difusión del conocimiento oriental hacia occidente.

Y sería el hijo de un funcionario de aduanas quien se convertiría en el primer gran matemático medieval de Europa.

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Una importación mal recibida

De niño, viajó por el norte de África con su padre, donde aprendió sobre los desarrollos de las matemáticas árabes y, especialmente, los beneficios de los números indoarábigos.

Cuando llegó a Italia, escribió un libro que sería de gran influencia en el desarrollo de las matemáticas occidentales.

Ese matemático fue Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, y en su “Libro de cálculo”, Fibonacci promovió el nuevo sistema de números, demostrando lo sencillo que era en comparación con los números romanos que se utilizaban en toda Europa.

Los cálculos eran mucho más fáciles, algo tremendamente importante para quienquiera que se ocupara de los números, desde matemáticos hasta comerciantes.

No obstante, lo que los números traídos de Oriente despertaron fue desconfianza, no alegría ni alivio.

Los viejos hábitos son difíciles de abandonar.

Algunos creían que estarían más expuestos al fraude, que se prestaban para ser manipulados.

Otros pensaban que eran tan fáciles de usar para los cálculos que le darían poder a las masas, quitándole autoridad a los intelectuales que sabían cómo usar el tipo de números antiguos.

La ciudad de Florencia incluso los prohibió en 1299.

Pero con el tiempo, prevaleció el sentido común, el nuevo sistema se extendió por toda Europa y el antiguo sistema romano se extinguió lentamente.

El enigma de los conejos

Por fin, los números hindú-árabes, de 0 a 9, triunfaron.

Hoy en día, Fibonacci es mejor conocido por el descubrimiento de unos números, ahora llamados la secuencia de Fibonacci, que surgieron cuando intentaba resolver un enigma sobre los hábitos de apareamiento de los conejos.

Supongamos que un granjero tiene un par de conejos.

Los conejos tardan dos meses en alcanzar la madurez, y después de eso dan a luz a otro par de conejos cada mes.

El problema era cómo saber cuántos pares de conejos habría en un mes determinado.

Entonces:

• Durante el 1º mes tienes un par de conejos y, como no han madurado, no pueden reproducirse.
• Durante el 2º mes, todavía hay un solo par.
• Pero a principios del 3º mes, la primera pareja se reproduce por primera vez, por lo que hay 2 pares de conejos.
• Al comienzo del 4º mes, el primer par se reproduce de nuevo, pero el segundo par no está lo suficientemente maduro , por lo que hay 3 pares.
• En el 5º mes, el primer par se reproduce y el segundo par se reproduce por primera vez, pero el tercer par es todavía muy joven, por lo que hay 5 pares.

El ritual de apareamiento continúa, pero lo que pronto notarás es que la cantidad de parejas de conejos que tienes en un mes dado es la suma de las parejas de conejos que has tenido en cada uno de los dos meses anteriores, así que la secuencia continúa…

1… 1… 2… 3… 5… 8… 13… 21… 34… 55… y así.

Los favoritos

Resultó que los números de Fibonacci son los números favoritos de la naturaleza.

No solo los conejos los usan.

El número de pétalos en una flor es invariablemente un número de Fibonacci. Si cuentas los segmentos de las piñas hacia arriba y hacia abajo los encontrarás. Incluso los caracoles los utilizan para hacer crecer sus conchas.

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Doquiera que encuentres crecimiento en la naturaleza, encontrarás los números de Fibonacci.

La secuencia de Fibonacci es además es la prima matemática del número áureo, un número que ha obsesionado a la cultura humana durante miles de años.

Número áureo

Si divides cualquier número en la secuencia de Fibonacci por el anterior, por ejemplo, 55/34, o 21/13, y la respuesta siempre es cercana a 1.61803.

Y es por eso que la secuencia de Fibonacci también es conocida como la secuencia dorada, pues ese 1,61803 es lo que se conoce como el número áureo.

Es un número especial que se encuentra al dividir una línea en dos partes, de modo que la parte más larga (a) dividida por la parte más pequeña (b) es igual a la longitud total dividida por la parte más larga.

A menudo, el número áureo se simboliza usando phi, la 21ª letra del alfabeto griego.

En una forma de ecuación, se ve así:

Esos números se pueden aplicar a las proporciones de un rectángulo, llamado el rectángulo dorado, considerado como una de las formas geométricas más satisfactorias visualmente.

El rectángulo dorado también está relacionado con la espiral dorada, que se crea al hacer cuadrados adyacentes de dimensiones de Fibonacci.

Pero para quienes somos principiantes, quizás es más fácil entenderlo si lo pensamos en términos de diseño.

Muchos nombres

El número áureo ha sido descubierto y redescubierto muchas veces, y por eso que tiene tantos nombres: número de oro, razón extrema y media, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción.

Históricamente, está expresado en la arquitectura de muchas creaciones antiguas.

En la Gran Pirámide de Giza, por ejemplo, la longitud de cada lado de la base es de 230 metros con una altura de 146 metros. La relación de la base con la altura es aproximadamente 1,575, muy cercano al número áureo.

Se cree que Fidias (500 a.C. – 432 a.C.), el famoso escultor y matemático griego, aplicó phi al diseño de esculturas para el Partenón.

De “La última cena” a Twitter

“Sin matemáticas no hay arte”, aseguró Luca Pacioli quien, en 1509, publicó “De divina proportione“, ilustrado nada menos que por Leonardo da Vinci.

“De divina proportione” es un libro de matemáticas, pero desde la primera página Pacioli afirma que su intención es revelarle a los artistas el secreto de las formas armónicas mediante el uso de la proporción divina.

Y, de hecho, hay quienes piensan que el número áureo es la esencia de la belleza en las proporciones de las pinturas de Da Vinci, quien la llamó sectio aurea.

Aseguran que la usó para definir todas las proporciones en su “Última Cena”, “Hombre de Vitruvio” y “Mona Lisa”.

También se ha notado el empleo de esa divina proporción en obras de Miguel Ángel, Rafael, Rembrandt, Seurat, Salvador Dalí… y hasta en el logo de Twitter.

Lo llevamos por dentro

Pero no hay que siquiera salir de casa para encontrar ese número de oro: nuestros cuerpos y rostros siguen esa proporción matemática.

• La longitud de nuestros dedos, cada sección desde la punta de la base hasta la muñeca es más grande que la anterior en aproximadamente la proporción de phi.
• La medida de la distancia del ombligo humano al suelo y de la parte superior de la cabeza al ombligo es la proporción de oro.
• Una molécula de ADN mide 34 angstroms por 21 angstroms en cada ciclo completo de la espiral de doble hélice. En la serie Fibonacci, 34 y 21 son números sucesivos.

Y, aparentemente, nuestros cerebros están programados para preferir los objetos y las imágenes que usan la proporción divina.

Varios estudios han demostrado que cuando se le pide a voluntarios en pruebas que observen una serie de caras aleatorias, y escojan las que consideran más atractivas -a pesar de no ser mi matemáticos ni físicos familiarizados con el phi– eligen las que muestran proporciones áureas entre el ancho de la cara y el ancho de los ojos, la nariz y las cejas.

Es casi una atracción subconsciente.

Pero esta prestigiosa academia fue de hecho una potencia intelectual importante en Bagdad durante la Edad de Oro islámica, y el lugar de nacimiento de conceptos matemáticos tan transformadores como el cero común y nuestros números “arábigos” modernos.

Fundada como una colección privada para el califa Harun Al-Rashid a finales del siglo VIII, y luego convertida en una academia pública unos 30 años después, la Casa de la Sabiduría parece haber llevado a científicos de todo el mundo hacia Bagdad, atraídos por la vibrante curiosidad intelectual de la ciudad y la libertad de expresión (allí se permitió estudiar a eruditos musulmanes, judíos y cristianos).

Con un archivo de tamaño tan formidable como la Biblioteca Británica actual en Londres o la Bibliothèque Nationale de París, la Casa de la Sabiduría se convirtió finalmente en un centro incomparable para el estudio de las humanidades y las ciencias, incluidas las matemáticas, la astronomía, la medicina, la química, la geografía, filosofía, literatura y artes, así como algunas materias más dudosas como la alquimia y la astrología.

Para invocar este gran monumento, por lo tanto, se requiere un salto de imaginación (piensa en la Ciudadela en Westeros o la biblioteca en Hogwarts), pero una cosa es cierta: la academia marcó el comienzo de un renacimiento cultural que alteraría por completo el curso de las matemáticas.

La Casa de la Sabiduría fue destruida en el asedio mongol de Bagdad en 1258 (según la leyenda, se arrojaron tantos manuscritos al río Tigris que sus aguas se volvieron negras por la tinta), pero los descubrimientos hechos allí introdujeron un poderoso lenguaje matemático abstracto que más tarde sería adoptado por el imperio islámico, Europa y, en última instancia, el mundo entero.

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“Lo que debería importarnos no son los detalles precisos de dónde o cuándo se creó la Casa de la Sabiduría”, dice Jim Al-Khalili, profesor de física en la Universidad de Surrey.

“Mucho más interesante es la historia de las propias ideas científicas y cómo se desarrollaron como resultado de ello”.

Rastrear el legado matemático de la Casa de la Sabiduría implica un poco de viaje en el tiempo hacia el futuro, por así decirlo.

Durante cientos de años hasta la decadencia del Renacimiento italiano, un nombre fue sinónimo de matemáticas en Europa: Leonardo da Pisa, conocido póstumamente como Fibonacci.

Nacido en Pisa en 1170, el matemático italiano recibió su instrucción primaria en Bugia, un enclave comercial ubicado en la costa africana de Berbería (costa norte de África).

A los 20 años, Fibonacci viajó al Medio Oriente, cautivado por ideas que habían llegado desde el oeste de la India a través de Persia.

Cuando regresó a Italia, Fibonacci publicó Liber Abbaci, una de las primeras obras occidentales en describir el sistema numérico hindú-árabe.

Cuando Liber Abbaci apareció por primera vez en 1202, sólo unos pocos intelectuales conocían los números arábigos hindúes.

Los comerciantes y eruditos europeos todavía se aferraban a los números romanos, lo que hacía que la multiplicación y la división fueran extremadamente engorrosas (¡intenta multiplicar MXCI por LVII!).

El libro de Fibonacci demostró el uso de los números en operaciones aritméticas, técnicas que podrían aplicarse a problemas prácticos como margen de beneficio, cambio de moneda, conversión de peso, trueque e interés.

“Quien desee conocer el arte de calcular, sus sutilezas e ingenios, debe saber computar con figuras a mano”, escribió Fibonacci en el primer capítulo de su obra enciclopédica, refiriéndose a los dígitos que los niños ahora aprenden en la escuela.

“Con estas nueve cifras y el signo 0, llamado céfiro, se escribe cualquier número”.

De repente, las matemáticas estaban disponibles para todos en una forma utilizable.

Sin embargo, el gran genio de Fibonacci no fue solo su creatividad como matemático, sino su aguda comprensión de las ventajas conocidas por los científicos musulmanes durante siglos: sus fórmulas de cálculo, su sistema de lugares decimales, su álgebra.

De hecho, Liber Abbaci se basó casi exclusivamente en los algoritmos del matemático del siglo IX Al-Khwarizmi.

Su revolucionario tratado presentó, por primera vez, una forma sistemática de resolver ecuaciones cuadráticas.

Debido a sus descubrimientos en el campo, a Al-Khwarizmi a menudo se lo conoce como el padre del álgebra, una palabra que le debemos, del árabe al-jabr, “la restauración de partes rotas”, y en 821 fue nombrado astrónomo y bibliotecario jefe de la Casa de la Sabiduría.

“El tratado de Al-Khwarizmi introdujo al mundo musulmán en el sistema numérico decimal”, explica Al-Khalili. “Otros, como Leonardo da Pisa, ayudaron a transmitirlo por toda Europa”.

La influencia transformadora de Fibonacci en las matemáticas modernas fue, por tanto, un legado que se le debe en gran parte a Al-Khwarizmi.

Y así, dos hombres separados por casi cuatro siglos estaban conectados por una biblioteca antigua: el matemático más célebre de la Edad Media se basó en la experiencia de otro pensador pionero, uno cuyos avances se hicieron en una institución icónica de la Edad de Oro islámica.

Quizás debido a que se sabe tan poco sobre la Casa de la Sabiduría, los historiadores ocasionalmente se sienten tentados a exagerar su alcance y propósito, dándole un estatus mítico algo en desacuerdo con los escasos registros históricos que nos quedan.

“Algunos argumentan que la Casa de la Sabiduría no era tan grandiosa como lo fue a los ojos de muchos”, dice Al-Khalili.

“Pero su asociación con hombres como Al-Khwarizmi, con su trabajo en matemáticas, astronomía y geografía, es para mí una fuerte evidencia de que la Casa de la Sabiduría estaba más cerca de una verdadera academia, no solo de un depósito de libros traducidos”.

Los eruditos y traductores de la biblioteca también se esforzaron mucho para asegurarse de que su trabajo fuera accesible al público lector.

“La Casa de la Sabiduría es fundamentalmente importante, ya que es a través de las traducciones allí (eruditos árabes que tradujeron las ideas griegas a la lengua vernácula) que formamos la base de nuestra comprensión matemática”, dice June Barrow-Green, profesora de historia de las matemáticas en la Open University. en el Reino Unido.

La biblioteca del palacio era tanto una ventana a ideas numéricas del pasado como un sitio de innovación científica.

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Mucho antes de nuestro sistema decimal actual, el sistema numérico binario que programa nuestras computadoras, antes de los números romanos, antes del sistema usado por los antiguos mesopotámicos, los humanos usaban los primeros sistemas de conteo para registrar los cálculos.

Si bien podemos encontrar cada uno de estos sistemas imponderables o anticuados, las diferentes representaciones numéricas pueden enseñarnos algo valioso sobre la estructura, las relaciones y los contextos históricos y culturales de los que surgieron.

Estas refuerzan la idea del valor posicional y la abstracción, ayudándonos a comprender mejor cómo funcionan los números.

Demuestran que “la forma occidental no era la única”, dice Barrow-Green. “Hay un valor real en la comprensión de diferentes sistemas numéricos”.

Cuando un antiguo comerciante quería escribir “dos ovejas”, por ejemplo, podía inscribir en arcilla una imagen de dos ovejas. Pero esto no sería práctico si quisiera escribir “20 ovejas”. La notación de valor de signo es un sistema en el que los símbolos numéricos que se suman significan un valor; en este caso, dibujar dos ovejas para representar la cantidad real.

Un vestigio de notación de valor de signo, los números romanos de alguna manera persistieron a pesar de la introducción del sistema de Al-Khwarizmi, que se basaba en la posición de los dígitos para representar cantidades.

Al igual que los imponentes monumentos en los que estaban inscritos, los números romanos sobrevivieron al imperio que los engendró, ya sea por accidente, sentimiento o propósito, nadie puede decirlo con certeza.

Este año se conmemora el 850 aniversario del nacimiento de Fibonacci. También podría ser el momento que amenaza con deshacer la trayectoria de los números romanos.

En Reino Unido, los relojes tradicionales han sido reemplazados por relojes digitales más fáciles de leer en las aulas de las escuelas, por temor a que los estudiantes ya no puedan decir la hora analógica correctamente.

En algunas regiones del mundo, los gobiernos los han eliminado de las señales de tráfico y los documentos oficiales, mientras que Hollywood se ha alejado del uso de números romanos en títulos de secuelas.

El Superbowl los abandonó para su juego número 50, preocupado de que confundiera a los fanáticos.
Pero un alejamiento global de los números romanos pone de manifiesto una creciente falta de habilidad para el cálculo en otros aspectos de la vida.

Quizás más importante, la desaparición de los números romanos muestra cuáles son las políticas que gobiernan cualquier discusión más amplia sobre las matemáticas.

“La cuestión sobre de quién son las historias que contamos, la cultura de quién privilegiamos y qué formas de conocimiento inmortalizamos en el aprendizaje formal está inevitablemente influenciada por nuestra herencia colonial Occidental”, dice Lucy Rycroft-Smith, editora y desarrolladora de Cambridge Mathematics.

Rycroft-Smith, ex profesora de matemáticas, es ahora una voz líder en la educación matemática y estudia las diferencias entre los planes de estudio globales.

Si bien Gales, Escocia e Irlanda no incluyen números romanos en sus objetivos de aprendizaje, y EE.UU. no tiene requisitos estándar, Inglaterra establece explícitamente que los estudiantes deben poder leer números romanos hasta el 100.

Muchos de nosotros no encontraremos nada especial en la cifra MMXX (eso es 2020, si no lo sabes).

Podemos reconocer vagamente a Fibonacci por el famoso patrón que lleva su nombre: una secuencia recursiva que comienza con 1 y es a partir de entonces la suma de los dos números anteriores.

La secuencia de Fibonacci es ciertamente notable, apareciendo con asombrosa frecuencia en el mundo natural: en conchas marinas y zarcillos de plantas, en las espirales de cabezas de girasol, en piñas, cuernos de animales y la disposición de las yemas de las hojas en un tallo, así como en la ámbito digital (en informática y secuenciación).

Sus patrones a menudo también se introducen en la cultura popular: en la literatura, el cine y las artes visuales; como estribillo en letras de canciones o partituras orquestales; incluso en arquitectura.

Pero la contribución matemática más perdurable de Leonardo da Pisa es algo que rara vez se enseña en las escuelas.

Esa historia comienza en la biblioteca de un palacio hace casi mil años, en un momento en que la mayor parte de la cristiandad Occidental se encontraba en la oscuridad intelectual.

Es una historia que debería desmantelar nuestra visión eurocéntrica de las matemáticas, destacar los logros científicos del mundo islámico y defender la importancia continua de los tesoros numéricos de hace mucho tiempo.